Інваріантні тори диференціально-різницевих рівнянь

Abstract

Фундамент теорії інваріантних многовидів систем нелінійної механіки був створений М. М. Боголюбовим, М. М. Криловим, Ю. О. Митропольським, О. Б. Ликовою та їх послідовниками. Початок нового етапу у розвитку цієї теорії пов’язують з 1970 роком, коли A. M. Самойленко запропонував новий метод дослідження інваріантних торів, який тепер називають методом функції Гріна-Самойленка задачі про інваріантний тор лінійного розширення динамічної системи на торі. Цей метод застосовувався до дослідження рівнянь різних типів, визначених як правило у скінченновимірних просторах. У зв’язку з дослідженнями К. П. Персидського стосовно зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь теорія інваріантних торів почала розвиватися для різних типів зліченних еволюційних рівнянь, тобто для рівнянь, визначених у банахових просторах обмежених числових послідовностей. Слід відмітити, що багато результатів у цій галузі та у суміжних областях одержано в монографіях А. М. Самойленка та Ю. В. Теплінського. У цій дипломній роботі проведено аналіз вказаного вище методу А. М. Самойленка щодо систем диференціальних та диференціально-різницевих рівнянь у скінченновимірних просторах, а також цей метод застосовано до побудови інваріантних торів еволюційних систем, визначених у нескінченновимірних просторах обмежених числових послідовностей. Так у першому розділі цієї роботи наведено і проаналізовано ряд фундаментальних результатів стосовно еволюційних систеим у скінченновимірних просторах. Другий розділ роботи присвячений вивченню диференціально-різницевих рівнянь, що містять нескінченну кількість різнознакових відхилень аргументу і визначені у банаховому просторі обмежених числових послідовностей. Наведено достатні умови існування інваріантних торів таких систем і розглянуто можливість редукції поставленої задачі на випадок систем у скінченновимірниих просторах.