Формула Мангольдта та динаміка наближення ψ-функції Чебишова

Abstract

В своєму знаменитому мемуарі Ріман досліджував досить просте питання із області арифметики, — скільки існує простих чисел, які не перевищують деякого, наперед заданого натурального числа? Чи існує загальний закон чи загальна формула, які б дали змогу обійтися без прямих підрахунків? Використовуючи найрозвинутіший математичний апарат свого часу (зокрема теорію функції комплексної змінної та комплексне інтегрування) Ріман взявся за цю проблему. Крім того, для своїх потреб він придумав математичний об’єкт, який поєднує в собі математичну глибину та витонченість одночасно. В кінці першої третини своєї статті він висловив деяку здогадку відносно цього об’єкту, а далі відмітив: «Хотілося б, звичайно, мати строге доведення цього факту, але після декількох недовгих та безрезультативних спроб я відклав пошуки такого доведення, оскільки це не було потрібно для безпосередніх цілей моїх досліджень». Цей вислів залишився майже непомітним на протязі десятиліть. Але потім, в силу ряду причин, він поступово заволодів уявою дослідників, поки не досяг статусу одержимості для видатних математиків всього світу. Ця думка Рімана пізніше стала називатись гіпотезою Рімана. Вона залишалася нав’язливою ідеєю протягом всього ХХ століття та залишається такою ж і по нинішній день, відкинувши та спростувавши всі без винятку спроби довести її. Одна з основних ідей в оригінальній роботі Рімана полягає в використанні методу комплексного інтегрування. Загальний метод, за допомогою якого можна обґрунтувати формули для функції Чебишева та функції, що характеризує розподіл простих чисел, був відкритий Ріманом і коротко описаний у згаданому вище мемуарі (правда міркування Рімана потребують деяких несуттєвих уточнень). Основна ідея доведення полягає в тому, що використовуючи інтегральне перетворення, яке в сучасній літературі називають перетворенням Рімана-Мелліна.