Відшукання наближених розв’язків одного типу інтегро-функціональних рівнянь з обмеженнями колокаційно-ітеративним методом

Abstract

У статті розглядається задача для лінійного інтегро-функціонального рівняння із заданим значенням шуканої функції за межами основного проміжку та обмеженнями (додатковими умовами) накладеними на шукану функцію. Ці обмеження носять інтегральний характер. Сформульовано основну та допоміжну задачі. Проведено поетапні міркування щодо взаємозв’язку цих задач. Стосовно величин, що входять у задану задачу вимагається, що вони задовольняють ряд необхідних умов. Показано, що при виконанні цих умов вихідна задача буде рівносильною деякому інтегральному рівнянню Фредгольма другого роду з цілком неперервним оператором та додатковими умовами на шуканий розв’язок. Крім основної задачі розглянуто також допоміжну задачу - задачу з керуванням, коли у випадку сумісності вводиться додаткова, корегуючи величина. Сформульовано та обґрунтовано умови сумісності вихідної задачі. У роботі також приведено та обґрунтовано ітераційний, а саме метод послідовних наближень та колокаційно-ітеративний методи побудови наближених розв’язків вихідної задачі з обмеженнями. Вказано алгоритми цих методів та достатні умови їх збіжності. При цьому, використовуємо той факт, що вихідна задача при виконанні певних умов є рівносильною інтегральному рівнянню з обмеженнями. Зокрема метод буде збіжним при деякому фіксованому п, якщо одиниця не буде точкою спектру інтегрального оператора Т. Вузли колокації вибираються у залежності від системи базисних функцій. Приведені методи побудови наближених розв’язків інтегро-функціонального рівняння з додатковими умовами можна успішно реалізувати на комп’ютерах, створивши відповідні програми. Слід зазначити, що запропоновані методи побудови наближених розв’язків інтегро-функціонального рівняння з додатковими умовами є достатньо ефективними. У подальшому можна перенести дослідження такого характеру на крайову задачу для диференціального рівняння з відхиленням аргументу нейтрального типу.

The article considers a problem for a linear integro-functional equation with a given value of the required function outside the main interval and constraints (additional conditions) imposed on the required function. These restrictions are integral. The main and auxiliary tasks are formulated. Step-by-step considerations have been made on the relationship between these tasks. For the values included in the given problem, it is required that they meet a number of necessary conditions. It is shown that under these conditions the initial problem will be equivalent to some integral Fredholm equation of the second kind with a completely continuous operator and additional conditions for the desired solution. In addition to the main problem, the auxiliary problem is also considered - the problem with control, when in case of compatibility an additional, correcting value is introduced. The conditions of compatibility of the initial problem are formulated and substantiated. The article also presents and substantiates the iterative, namely the method of successive approximations and collocation-iterative methods of constructing approximate solutions of the initial problem with constraints. The algorithms of these methods and sufficient conditions for their convergence are indicated. In this case, we use the fact that the initial problem under certain conditions is equivalent to an integral equation with constraints. In particular, the method will be convergent for some fixed n if the unit is not a point of the spectrum of the integral operator T. The collocation nodes are chosen depending on the system of basis functions. These methods of constructing approximate solutions of the integro-functional equation with additional conditions can be successfully implemented on computers by creating appropriate programs. It should be noted that the proposed methods for constructing approximate solutions of the integro-functional equation with additional conditions are quite effective. In the future, we can transfer the study of this nature to the boundary value problem for a differential equation with a deviation of the argument of the neutral type.