Дослідження на сумісність та відшукання наближених розв’язків інтегро-функціональних рівнянь з малою нелінійністю та обмеженнями

Abstract

У статті досліджується задача на сумісність одного типу інтегро-функціонального рівняння з малою не лінійністю та додатковими умовами (обмеженнями), коли оператор внутрішньої суперпозиції знаходиться в підінтегральному виразі інтегрального оператора. Приведена задача є важлива в зв’язку з тим, що до неї зводиться крайова задача для диференціального рівняння з відхиленням аргументу із запізненням та додатковими умовами. Показано, що в частковому випадку, коли h(x) = x – Δ, отримується випадок сталого запізнення. Крім основної задачі, в якій досліджується узгодженість шуканого розв’язку з додатковими умовами, також розглянуто допоміжну задачу, ‒ задачу з керуванням. Основна ідея досліджень на сумісність згаданої задачі полягає в тому, що ця за-дача зводиться до аналогічної задачі для інтегрального рівняння з малою нелінійністю і з сумісності останньої випливає сумісність основної задачі. У роботі розглянуто питання побудови наближених розв’язків як основної так і допоміжної задач. Показано, що при виконанні певних умов такі розв’язки можна отримати, застосувавши до за-дачі один варіант ітераційного методу. При застосуванні цього методу на кожному кроці ітерації виникає необхідність у розв’язанні лінійної системи алгебраїчних рівнянь. Оскільки основна матриця системи є невиродженою і однаковою для кожного кроку ітерації, то доцільно на початку цього процесу знайти обернену матрицю і в подальшому поетапно використовувати її при відшуканні наближених розв’язків. Слід мати на увазі, що у випадку, коли основна задача є сумісною, використання додаткових умов, яким задовольняє шуканий розв’язок, дає змогу покращити умови збіжності та швидкість збіжності згаданого ітераційного методу. Одержані результати є важливими в подальших дослідженнях різних типів наближених методів для відшукання розв’язків інтегро-функціональних рівнянь з обмеженнями.

The article deals with the problem of compatibility of one type of in-tegro-functional equation with additional conditions (restrictions) and with a small nonlinearity, when the operator of the internal superposition is in the integral operator integral expression. The given problem is important because it reduces the boundary value problem for a differential equation with delay deviation and additional conditions. It is shown that in the par-tial case, when h(x) = x – Δ, a case of steady delay is obtained. In addition to the main task, which investigates the coherence of the desired solution with the additional conditions, also considered the auxilia-ry problem — the task of management. The basic idea of research on the compatibility of this problem is that this problem is reduced to a similar problem for an integral equation with a small nonlinearity, and the compat-ibility of the latter implies compatibility of the main problem. The paper deals with the problem of construction of approximate solu-tions of both basic and auxiliary problems. It is shown that under certain conditions, such solutions can be obtained by applying one variant of the iterative method to the problem. When applying this method, at every step of the iteration, there is a need to solve the linear system of algebraic equa-tions. Since the main matrix of the system is not degenerate and is the same for each iteration step, it is expedient at the beginning of this process to find an inverse matrix and then use it step by step in the search for ap-proximate solutions. It should be borne in mind that in the case where the primary task is compatible, the use of additional conditions that satisfies the desired solution will improve the convergence conditions and the con-vergence rate of the said iterative method. The obtained results are important in the further research of various types of approximate methods for finding solutions to integro-functional equations with constraints.