Колокаційно-ітеративний метод розв’язування інтегро-функціональних рівнянь з обмеженнями

Abstract

Інтегро-функціональні рівняння мають широке застосування в різних областях науки та природознавства (зокрема, до таких рівнянь з відхиленням аргументу як нейтрального типу так і з запізненням). У деяких випадках про розв’язки цих рівнянь буває відома додаткова інформація. Тому важливим є не тільки питання побудови розв’язку такого рівняння, а й встановлення умов сумісності відповідної задачі, тобто потрібно вияснити, чи узгоджується шуканий розв’язок задачі з додатковими умовами. Встановленню умов сумісності задач такого типу стосовно різних видів операторних рівнянь та розробці методів побудови їх розв’язків присвячено низку наукових праць [1–4]. У статті розглядається один тип інтегро-функціонального рівняння з умовою та обмеженнями на шукану функцію, які носять інтегральний характер. Сформульовано умови сумісності вихідної задачі. Стосовно величин, що входять у задану задачу вимагається, що вони задовольняють ряд необхідних умов. Показано, що при виконанні цих умов вихідна задача буде рівносильною деякому інтегральному рівнянню Фредгольма другого роду з цілком неперервним оператором та додатковими умовами на шуканий розв’язок. Крім основної задачі розглянуто також допоміжну задачу — задачу з керуванням, коли у випадку сумісності вводиться додаткова, корегуючи величина. Сформульовано та обґрунтовано умови сумісності вихідної задачі. У роботі також приведено та обґрунтовано ітераційний та колокаційно-ітеративний методи побудови наближених розв’язків вихідної задачі з обмеженнями. Вказано алгоритм цих методів та достатні умови їх збіжності. При цьому, використовуємо той факт, що вихідна задача при виконанні певних умов є рівносильною інтегральному рівнянню з обмеженнями. Приведені методи побудови наближених розв’язків інтегро-функціонального рівняння з додатковими умовами можна успішно реалізувати на ЕОМ, створивши відповідні програми.

Integro-functional equations are widely used in various fields of science and science (in particular, to such equations with a deviation of the argument as a neutral type and with a delay). In some cases, solving these equations is known additional information. Therefore, it is important not only the solution of this equation but also the establishment of compatibility conditions of the corresponding problem, that is, one needs to find out if the desired solution of the problem with the additional conditions is consistent. A set of scientific papers is devoted to the establishment of compatibility conditions of problems of this type with respect to different types of operator equations and the development of methods for constructing their solutions [1–4]. The article deals with one type of integro-functional equation with condition and restrictions on the desired function, which are integral in nature. The terms of the compatibility of the original problem are formulated. With regard to the values included in the given task, it is required that they satisfy a number of necessary conditions. It is shown that under these conditions the initial problem will be equivalent to some Fredholm integral equation of a second kind with a completely continuous operator and additional conditions on the desired solution. In addition to the main task also considered ancillary task — a task with management, when in the case of compatibility, an additional, adjusting value is introduced. The terms of compatibility of the original problem are formulated and substantiated. In the paper, the iterative and colocation-iterative methods of constructing approximate solutions of the original problem with constraints are also presented and grounded. The algorithm of these methods and sufficient conditions of their convergence are indicated. At the same time, we use the fact that the initial problem in the fulfillment of certain conditions is equivalent to an integral equation with constraints. The presented methods of constructing approximate solutions of the integro-functional equation with additional conditions can be successfully implemented on the computer by creating the corresponding programs.