Застосування колокаційно-ітеративного методу до нелінійних інтегро-функціональних рівнянь

Abstract

У статті досліджується питання застосування колокаційно-ітеративного методу [1, 3] до одного типу нелінійного інтегро-функціонального рівняння. Вказано умови, які гарантують існування єдиного розв’язку такого рівняння. Приведена основна схема методу та вказано умови, при виконанні яких цей метод буде збіжним. При обґрунтуванні методу використовується той факт, що вихідне нелінійне інтегро-функціональне рівняння можна звести до нелінійного інтегрального рівняння, ядра інтегральних операторів якого записуються в явному вигляді. Також важливим моментом при обґрунтуванні є те, що колокаційно-ітеративний метод можна трактувати як частковий випадок проекційно-ітеративного методу. Застосування останнього до різних типів нелінійних операторних рівнянь систематично досліджувалось у роботах А. Ю. Лучки та його учнів. Суттєвою особливістю досліджуваного у роботі методу є те, що на кожному кроці ітерації потрібно розв’язувати системи нелінійних алгебраїчних чи трансцендентних рівнянь, що є основною технічною складністю цього процесу. Але задача відшукання розв’язків таких систем є простішою, ніж розв’язування вихідного нелінійного інтегро-функціонального рівняння. У роботі показано, що метод послідовних наближень та метод колокації розв’язання вихідного нелінійного рівняння можна розглядати як часткові випадки колокаційно-ітеративного методу. Крім основного алгоритму методу приведено його обчислювальну схему, яка є більш зручною для безпосередніх обрахунків ніж сам метод і яку при необхідності можна успішно реалізувати на комп’ютері, створивши для цього відповідну програму.

The article investigates the application of the collocation-iterative method to one type of nonlinear integro-functional equation. The conditions that guarantee the existence of a single solution of such an equation are given. The basic algorithm of the method is given and the conditions under which this method will be convergent are indicated. In substantiating this method, the fact is used that the original nonlinear integro-functional equation can be reduced to a nonlinear integral equation, the kernels of integral operators of which are written explicitly. Another important point in the justification is that the collocation-iterative method can be interpreted as a partial case of the projection-iterative method. The application of the latter to different types of nonlinear operator equations has been systematically investigated in the works of A. Y. Luchkа and his students. A significant difference between the method studied in this work is that at each step of the iteration it is necessary to solve systems of nonlinear algebraic or transcendental equations, which is the main technical complexity of this process. But the problem of finding solutions of such systems is simpler than solving the original nonlinear integro-functional equation. The article shows that the method of successive approximations and the method of collocation of the solution of the initial nonlinear equation can be considered as partial cases of the collocation-iterative method. In addition to the basic algorithm of the method, its computational algorithm is given, which is more convenient for direct calculations than the method itself and which, if necessary, can be successfully implemented on a computer by creating an appropriate program.